輪迴的拉格朗日

過去，地球上曾經居住著無數人類，並擁有如今無法想像的高度發展文明。人類發現了基本粒子，並充分活用它所建立的粒子物理學，使生活變得極為豐富。然而與此同時，利用相對加速器開發的武器也持續進化，引發了無數衝突。在這樣的局勢中，一種全新的粒子被發現。發現此粒子的古・雷加利特王國（古レ・ガリテ）王女梅伊君（メイクン）將之命名為「沃克斯粒子（ウォクス粒子）」，並為了成為制止戰亂的「聲音」，開發出利用沃克斯粒子的機器人——歐比德（オービッド）。

然而，王族中有人對此心懷不滿，計畫背叛梅伊君並摧毀歐比德。在混亂中，載著梅伊君的歐比德發生暴走，變成無法預測的能量體，並釋放出龐大的能量。這股能量最終籠罩整個地球，摧毀了一切，使大部分陸地沉沒於海中。人類只能倉皇逃往宇宙，而繁榮一時的地球古代文明就此滅絕。

第1期

在災禍發生兩萬多年後的西元2032年，居住於千葉縣鴨川市的少女京乃圓（京乃まどか）在一次偶然的機會下，遇見了來自宇宙並自稱為蘭（ラン）的少女，並被請求駕駛機器人。同時，來自宇宙的未知敵人突然襲擊鴨川。圓接受蘭的請託，駕駛了名為奧拉（ウォクス・アウラ）的機體，並在戰鬥中成功自由操控，擊退了敵人。

圓與奧拉一同迎擊接連來襲的敵對勢力德・梅托里奧（デ・メトリオ）。身為星際聯邦「波里赫多倫（ポリヘドロン）」中最強軍事國家雷加利特（レ・ガリテ）的公主，蘭亦駕駛琳梵（ウォクス・リンファ）與圓並肩作戰。某日，一位自稱麥波（ムギナミ）的少女突然出現在她們面前。圓對她產生好感，將她視為朋友並邀其同住，卻沒發現麥波其實是宇宙義賊KISS（キッス）的成員，接近她們是為了幫助她所尊敬如兄的KISS首領維拉朱里歐（ヴィラジュリオ）奪取沃克斯。

麥波成功在自己身上刻下了能駕駛伊格尼斯（ウォクス・イグニス）所需的記憶紋（メモリア），但卻遭維拉朱里歐冷淡拒絕：「別自作主張。」圓為此大怒。在KISS的無人歐比德（オービッド）大軍襲來時，圓與蘭共同迎擊，與維拉朱里歐對峙。此時麥波駕駛伊格尼斯介入，為了保護維拉朱里歐，甚至斥責圓的行為只是「自以為是的多管閒事」，令圓一時無法理解她的心情。

就在此刻，奧拉率先開始暴走，三台沃克斯機體接連發生異常，觸發了被稱為「輪迴（輪廻）」的現象——正是兩萬年前導致地球古文明滅絕的災厄。維拉朱里歐的真正目的是在沃克斯落入雷加利特之前將其摧毀。

戰鬥結束後，麥波向圓與蘭坦白自身過去與內心的真實情感，三人最終成為真正的朋友。另一方面，在諾姆德斯財團（ノウムンドゥス財団）實質領袖阿斯特莉婭（アステリア）的判斷下，奧拉被封印，圓也被解除駕駛任務。正當此時，維拉朱里歐率KISS艦隊突襲法洛斯基地（ファロス），意圖徹底摧毀沃克斯。為了守護圓與鴨川，蘭與麥波瞞著圓出擊。雖然阿斯特莉婭擔憂沃克斯再次暴走並引發輪迴而拒絕解除封印，但在圓的表姊中泉陽子（中泉ようこ）說服下，最終同意圓出擊。

圓的歸隊使戰局逆轉，但她得知陽子重傷後，因恐懼再次失去重要之人而再次開啟輪迴。

在被稱為「輪迴的彼岸」的異空間中，陷入迷惘的圓遇見了少女尤里嘉諾（ユリカノ），在她的言語鼓勵下振作起來，並與蘭與麥波一同重返戰場。在將輪迴之輪化為巨大的拉格朗日之花（ラグランジェの花）飛翔之際，奧拉突然停止機能。維拉朱里歐試圖擊墜圓，但被及時趕到的雷加利特回收部隊與國王迪塞爾瑪因（ディセルマイン）阻止。麥波帶著負傷的維拉朱里歐撤退，KISS艦隊也敗退。蘭則隨迪塞爾瑪因返國，三人就此分離。在地球軌道上，無數的拉格朗日之花飄浮環繞，見證了她們的戰鬥與羈絆。

第2期

蘭（ラン）與麥波（ムギナミ）離開京乃圓（京乃まどか）身邊已將近一年，成為高中三年級生的圓，一邊懷抱著思念兩人的孤單心情，一邊為了未來感到迷惘，同時忙於體育服社（ジャージ部）的活動與支援BWH的工作，過著繁忙的日常。

就在這時，受迪塞爾瑪因（ディセルマイン）之命的蘭再次現身，請求圓重新搭乘自決戰以來便處於停止狀態的奧拉（ウォクス・アウラ）。不久之後，麥波也從天而降回到鴨川。然而蘭卻出擊駕駛琳梵（ウォクス・リンファ）與麥波的伊格尼斯（ウォクス・イグニス）交戰，並斷言：「麥波是為了殺掉圓而來的。」

圓無法理解兩人為何爭鬥，也無法理解蘭所言的含義。在奧拉再次啟動後，她急忙趕往戰場。透過奧拉，圓感受到兩人的衝突並非出於本意。她找到了失蹤的蘭與麥波，並回到了體育服社的社辦。

原來，雷加利特（レ・ガリテ）王迪塞爾瑪因為了解決波里赫多倫千年問題（ポリヘドロン千年問題），決心不惜毀滅德・梅托里奧（デ・メトリオ），並計畫利用圓與沃克斯（ウォクス）的力量；而麥波則為了守護德・梅托里奧的人民，與之對立。蘭與麥波為各自兄長的理念代理人而戰，圓為了讓兩人和好，提出了讓她們和解的提案。

為避免戰爭爆發，蘭與麥波在阿斯特莉婭（アステリア）的安排下亡命地球，與圓再度重逢。

在波里赫多倫的國際會議召開前夕，雷加利特的旗艦法洛斯（ファロス）停泊於鴨川近海，阿斯特莉婭安排了迪塞爾麥因與維拉朱力歐（ヴィラジュリオ）之間的秘密會談，試圖促成停戰，但雙方爭執依舊僵持不下。

就在這時，迪塞爾麥因暗中藏匿的尤里嘉諾（ユリカノ）搭乘歐比德（オービッド）現身鴨川，引發騷動。圓為了與尤里嘉諾會面，與蘭、麥波一同登上雷加利特的旗艦，卻被捲入迪塞爾瑪因的實驗，在副作用下與尤莉卡諾互換意識。

在混亂之中，圓得知尤莉卡諾對迪塞爾瑪因與維拉朱力歐的深切情感。她大膽出手痛打兩人，讓他們省思對立毫無意義。最終，兩人約定將不再爭鬥，並公開承諾不依賴沃克斯的力量，以和平方式解決波里赫多倫千年問題。

表面上危機雖然解除，但迪塞爾麥因的親信莫伊德（モイド）從法洛斯中取出保管的石板，生成新的沃克斯核心（ウォクス・コア），並逃離現場。他強行將記憶紋（メモリア）刻印在迪塞爾麥因身上，秘密打造搭載沃克斯核心的新型歐比德——瑪古奧托魯（マグオルトル）。

此後，迪塞爾麥因突然向德・梅托里奧宣戰，並因為誤以為自己被維拉朱力歐背叛而陷入絕望，開啟輪迴之輪。整個地球被輪迴釋放出的黑色雲霧籠罩，瀕臨滅亡。

為阻止失控的迪塞爾瑪因，圓等人闖入輪迴的彼岸與之對決，卻反遭瑪古奧托魯壓制。在沉沒於輪迴之海的奧拉座艙中，圓感受到迪塞爾瑪因內心仍重視與維拉朱力歐的友情，遂與蘭、麥波合力奮起，成功擊退瑪古奧托魯，並將迪塞爾瑪因與尤里嘉諾從輪迴的彼岸救出。

隨著戰鬥的結束，籠罩地球的黑雲轉化為拉格朗日之花（ラグランジェの花），飄向宇宙。

歲月流逝，蘭接替退位的迪塞爾瑪因成為雷加利特新任國王；麥波成立「鴨女體育服社KISS分部（鴨女ジャージ部キッス支部）」，作為支部長著手復興故鄉烏・戈（ウ・ゴー）的環境。而圓則與兩人一同，今日也在宇宙規模上努力進行著體育服社的活動。